Найдите точку максимума функции у = (x – 14)²e²⁶⁻ˣ.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = (x - 14)^2 e^{26-x} \) найдём её производную и приравняем к нулю.

Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = (x - 14)^2 \) и \( v = e^{26-x} \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = 2(x - 14) \cdot 1 = 2(x - 14) \)

\( v' = e^{26-x} · (-1) = -e^{26-x} \)

Теперь найдём производную \( y' \):

\( y' = u'v + uv' = 2(x - 14) e^{26-x} + (x - 14)^2 (-e^{26-x}) \)

Вынесем общий множитель \( (x - 14)e^{26-x} \):

\( y' = (x - 14)e^{26-x} [2 - (x - 14)] \)

\( y' = (x - 14)e^{26-x} (2 - x + 14) \)

\( y' = (x - 14)e^{26-x} (16 - x) \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( (x - 14)e^{26-x} (16 - x) = 0 \)

Так как \( e^{26-x} \) всегда больше нуля, то:

\( x - 14 = 0 \) или \( 16 - x = 0 \)

\( x = 14 \) или \( x = 16 \)

Теперь исследуем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

1. Интервал \( (-\infty; 14) \): Возьмём \( x = 0 \). \( y'(0) = (0 - 14)e^{26} (16 - 0) = (-14)e^{26}(16) < 0 \). Функция убывает.

2. Интервал \( (14; 16) \): Возьмём \( x = 15 \). \( y'(15) = (15 - 14)e^{26-15} (16 - 15) = (1)e^{11}(1) > 0 \). Функция возрастает.

3. Интервал \( (16; \infty) \): Возьмём \( x = 17 \). \( y'(17) = (17 - 14)e^{26-17} (16 - 17) = (3)e^9(-1) < 0 \). Функция убывает.

Смена знака производной с минуса на плюс происходит в точке \( x = 14 \) (это точка минимума).

Смена знака производной с плюса на минус происходит в точке \( x = 16 \) (это точка максимума).

Ответ: Точка максимума находится при x = 16.