Найдите точку максимума функции y = (x + 1)²(x - 3) + 7.

Пошаговое решение:

• Найдём производную функции: \[y' = ((x + 1)^2 (x - 3) + 7)' = ((x + 1)^2)'(x - 3) + (x + 1)^2(x - 3)' + 0 = 2(x + 1)(x - 3) + (x + 1)^2 = (x + 1)(2(x - 3) + x + 1) = (x + 1)(2x - 6 + x + 1) = (x + 1)(3x - 5).\]
• Приравняем производную к нулю: \[(x + 1)(3x - 5) = 0.\]
• Решим уравнение: \[x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1,\]\[3x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}.\]
• Определим знаки производной на числовой прямой:
  • При \(x < -1\), например, при \(x = -2\): \(y' = (-2 + 1)(3(-2) - 5) = (-1)(-11) > 0\), функция возрастает.
  • При \(-1 < x < \frac{5}{3}\), например, при \(x = 0\): \(y' = (0 + 1)(3(0) - 5) = (1)(-5) < 0\), функция убывает.
  • При \(x > \frac{5}{3}\), например, при \(x = 2\): \(y' = (2 + 1)(3(2) - 5) = (3)(1) > 0\), функция возрастает.
• Значит, в точке \(x = -1\) функция меняет возрастание на убывание, следовательно, это точка максимума.

Ответ: -1