Найдите точку максимума функции y = (x + 16)e¹⁶⁻ˣ.

Ответ: 15

1. Находим производную функции y = (x + 16)e^(16-x): \[y' = (x + 16)'e^{16-x} + (x + 16)(e^{16-x})'\] \[y' = 1 ⋅ e^{16-x} + (x + 16) ⋅ e^{16-x} ⋅ (-1)\] \[y' = e^{16-x} - (x + 16)e^{16-x}\] \[y' = e^{16-x}(1 - (x + 16))\] \[y' = e^{16-x}(1 - x - 16)\] \[y' = e^{16-x}(-x - 15)\]
2. Приравниваем производную к нулю: \[e^{16-x}(-x - 15) = 0\] Так как e^(16-x) > 0 для всех x, то: \[-x - 15 = 0\] \[x = -15\] Но тут какая-то ерунда получается, если -15 подставить. Похоже, где-то ошибка вкралась. Или опечатка в условии.
3. Находим производную функции y = (x + 16)e^(16-x): y' = (x + 16)' * e^(16-x) + (x + 16) * (e^(16-x))' y' = 1 * e^(16-x) + (x + 16) * e^(16-x) * (-1) y' = e^(16-x) - (x + 16)e^(16-x) y' = e^(16-x) * (1 - x - 16) y' = e^(16-x) * (-x - 15)
4. Приравниваем производную к 0: e^(16-x) * (-x - 15) = 0 -x - 15 = 0 x = -15
5. Проверяем знак производной слева и справа от x = -15: При x < -15, например x = -16, y' = e^(16 - (-16)) * (-(-16) - 15) = e^32 * 1 > 0 При x > -15, например x = -14, y' = e^(16 - (-14)) * (-(-14) - 15) = e^30 * (-1) < 0 Значит, x = -15 - точка максимума.

Ответ: -15