Найдите точку минимума функции y = x³/3 - 30x + 2.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Производная функции \( y = \frac{x^3}{3} - 30x + 2 \) равна:

\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 30x + 2\right) = \frac{3x^2}{3} - 30 = x^2 - 30 \].

Приравняем производную к нулю:

\[ x^2 - 30 = 0 \]

\[ x^2 = 30 \]

\[ x = \pm\sqrt{30} \].

Теперь определим, какая из этих точек является точкой минимума. Для этого найдём вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 30) = 2x \].

Проверим знак второй производной в точках \( x = \sqrt{30} \) и \( x = -\sqrt{30} \):

При \( x = \sqrt{30} \): \( y'' = 2\sqrt{30} \). Так как \( 2\sqrt{30} > 0 \), то в точке \( x = \sqrt{30} \) находится минимум.

При \( x = -\sqrt{30} \): \( y'' = -2\sqrt{30} \). Так как \( -2\sqrt{30} < 0 \), то в точке \( x = -\sqrt{30} \) находится максимум.

Следовательно, точка минимума функции — \( x = \sqrt{30} \).

Ответ: \(\sqrt{30}\)