На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) — производной функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-9; 3) \). В какой точке отрезка \( [-7; -1] \) функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение?

Решение:

Наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке достигается в точке, где производная \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс (локальный минимум) или в конце отрезка. Максимум функции \( f(x) \) на отрезке достигается в точке, где производная \( f'(x) \) меняет знак с плюса на минус (локальный максимум) или в конце отрезка.

Нам нужно найти наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [-7; -1] \).

Проанализируем график производной \( f'(x) \) на интервале \( [-7; -1] \):

• На интервале \( [-7; -5) \) график \( f'(x) \) находится ниже оси \( x \), значит \( f'(x) < 0 \). Функция \( f(x) \) убывает.
• В точке \( x = -5 \) \( f'(x) = 0 \).
• На интервале \( (-5; -1] \) график \( f'(x) \) находится выше оси \( x \), значит \( f'(x) > 0 \). Функция \( f(x) \) возрастает.

Следовательно, в точке \( x = -5 \) функция \( f(x) \) имеет локальный минимум.

Для определения наибольшего значения на отрезке \( [-7; -1] \) нужно сравнить значения функции в точках, где производная равна нулю, и на концах отрезка. В данном случае, так как функция сначала убывает, а потом возрастает, наибольшее значение будет либо в начале отрезка \( x = -7 \), либо в конце отрезка \( x = -1 \).

В точке \( x = -5 \) происходит минимум.

На интервале \( [-7; -5] \) функция убывает, поэтому \( f(-7) > f(-5) \).

На интервале \( [-5; -1] \) функция возрастает, поэтому \( f(-1) > f(-5) \).

Чтобы точно определить, где наибольшее значение, нужно сравнить \( f(-7) \) и \( f(-1) \).

Площадь под графиком \( f'(x) \) соответствует изменению \( f(x) \).

Из графика видно, что площадь под кривой \( f'(x) \) от -7 до -5 (где функция убывает) больше, чем площадь над кривой от -5 до -1 (где функция возрастает).

\( f(-1) - f(-7) = \int_{-7}^{-1} f'(x) dx = \int_{-7}^{-5} f'(x) dx + \int_{-5}^{-1} f'(x) dx \)

\( \int_{-7}^{-5} f'(x) dx < 0 \) (отрицательная площадь)

\( \int_{-5}^{-1} f'(x) dx > 0 \) (положительная площадь)

Из графика видно, что площадь фигуры, ограниченной графиком \( f'(x) \) и осью \( x \) на интервале \( [-7, -5] \) (абсолютное значение) больше, чем площадь фигуры на интервале \( [-5, -1] \).

\( f(-1) = f(-7) + \int_{-7}^{-1} f'(x) dx = f(-7) + (\text{отрицательная площадь}) + (\text{положительная площадь}) \).

Поскольку \( |\int_{-7}^{-5} f'(x) dx| > \int_{-5}^{-1} f'(x) dx \), то \( \int_{-7}^{-1} f'(x) dx < 0 \).

Значит, \( f(-1) < f(-7) \).

Следовательно, наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [-7; -1] \) достигается в точке \( x = -7 \).

Ответ: -7