Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 58°, ∠ABD = 16°, ∠BAC = 44°.Фото задания

Ответ:

Задание 5: Углы вписанного четырёхугольника

Дано:

  • Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
  • \( \angle ACB = 58^\circ \)
  • \( \angle ABD = 16^\circ \)
  • \( \angle BAC = 44^\circ \)

Найти: Углы четырёхугольника ABCD.

Решение:

  1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  2. \( \angle ADB = \angle ACB = 58^\circ \) (опираются на дугу AB).
  3. \( \angle BDC = \angle BAC = 44^\circ \) (опираются на дугу BC).
  4. \( \angle CAD = \angle ABD = 16^\circ \) (опираются на дугу CD).
  5. \( \angle ACD = \angle ABD = 16^\circ \) (ошибочно, должно быть \( \angle ACD = \angle ABD = 16^\circ \) - нет, \( \angle ACD = \angle ABD \) это не верно. \( \angle ACD \) опирается на дугу AD. \( \angle ABD = 16^\circ \) опирается на дугу AD. Значит \( \angle ACD = 16^\circ \)).
  6. Угол A: \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 16^\circ + 44^\circ = 60^\circ \)
  7. Угол B: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). Найдём \( \angle DBC \). \( \angle DBC \) опирается на дугу DC. \( \angle DAC = 16^\circ \) опирается на дугу DC. Значит \( \angle DBC = 16^\circ \).
  8. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + 16^\circ = 32^\circ \).
  9. Угол C: \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 58^\circ + 16^\circ = 74^\circ \).
  10. Угол D: \( \angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 44^\circ + 58^\circ = 102^\circ \).
  11. Проверка: Сумма углов четырёхугольника должна быть 360°.
  12. \( 60^\circ + 32^\circ + 74^\circ + 102^\circ = 268^\circ \). Ошибка в рассуждениях.
  13. Пересмотрим углы:
  14. \( \angle BAC = 44^\circ \)
  15. \( \angle ABC = 16^\circ \) (опирается на дугу AC) - нет, \( \angle ABC \) не опирается на дугу AC.
  16. \( \angle ACB = 58^\circ \)
  17. \( \angle ABD = 16^\circ \)
  18. \( \angle BAC = 44^\circ \)
  19. \( \angle ADB = \angle ACB = 58^\circ \) (опираются на дугу AB).
  20. \( \angle BDC = \angle BAC = 44^\circ \) (опираются на дугу BC).
  21. \( \angle CAD = \angle ABD = 16^\circ \) (опираются на дугу CD).
  22. \( \angle ACD = \angle ABD = 16^\circ \) (ошибочно, \( \angle ACD \) опирается на дугу AD, \( \angle ABD = 16^\circ \) опирается на дугу AD. Значит, \( \angle ACD = 16^\circ \)).
  23. Угол A: \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 16^\circ + 44^\circ = 60^\circ \).
  24. Угол B: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). \( \angle DBC \) опирается на дугу DC. \( \angle DAC = 16^\circ \) опирается на дугу DC. Значит, \( \angle DBC = 16^\circ \).
  25. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + 16^\circ = 32^\circ \).
  26. Угол C: \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 58^\circ + 16^\circ = 74^\circ \).
  27. Угол D: \( \angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 44^\circ + 58^\circ = 102^\circ \).
  28. Сумма углов = 60 + 32 + 74 + 102 = 268°. Ошибка.
  29. Давайте пересчитаем углы, опирающиеся на дуги.
  30. Дуга AB: \( \angle ACB = 58^\circ \), \( \angle ADB = 58^\circ \).
  31. Дуга BC: \( \angle BAC = 44^\circ \), \( \angle BDC = 44^\circ \).
  32. Дуга CD: \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \).
  33. Дуга AD: \( \angle ABD = 16^\circ \), \( \angle ACD = 16^\circ \).
  34. Угол A: \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB \). \( \angle DAC \) опирается на дугу DC. \( \angle DBC \) тоже опирается на дугу DC.
  35. Угол B: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 16^\circ + \angle DBC \).
  36. Угол C: \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 58^\circ + 16^\circ = 74^\circ \).
  37. Угол D: \( \angle CDA = \angle CDB + \angle ADB = 44^\circ + 58^\circ = 102^\circ \).
  38. Теперь найдём \( \angle DAB \) и \( \angle ABC \).
  39. В треугольнике ABC: \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 44^\circ - 58^\circ = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).
  40. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \) => \( 78^\circ = 16^\circ + \angle DBC \) => \( \angle DBC = 78^\circ - 16^\circ = 62^\circ \).
  41. \( \angle DBC = 62^\circ \) опирается на дугу DC. Значит \( \angle DAC = 62^\circ \).
  42. Угол A: \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 62^\circ + 44^\circ = 106^\circ \).
  43. Угол B: \( \angle ABC = 78^\circ \) (найдено ранее).
  44. Угол C: \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 58^\circ + 16^\circ = 74^\circ \).
  45. Угол D: \( \angle CDA = \angle CDB + \angle ADB = 44^\circ + 58^\circ = 102^\circ \).
  46. Проверка: \( 106^\circ + 78^\circ + 74^\circ + 102^\circ = 360^\circ \).

Ответ: ∠A = 106°, ∠B = 78°, ∠C = 74°, ∠D = 102°.