Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 43°, ∠ACD = 37°, ∠CAD = 22°.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на окружности.

1. Найдем ∠ABD:
   Углы ∠ADB и ∠ABD опираются на одну дугу AB. Следовательно, ∠ABD = ∠ACD (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
   Так как ∠ACD = 37°, то ∠ABD = 37°.
2. Найдем ∠BAC:
   Углы ∠ADB и ∠ACB опираются на одну дугу AB. Следовательно, ∠ACB = ∠ADB (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
   Так как ∠ADB = 43°, то ∠ACB = 43°.
3. Найдем ∠CAD:
   Углы ∠CBD и ∠CAD опираются на одну дугу CD. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).
   Так как ∠CAD = 22°, то ∠CBD = 22°.
4. Найдем углы треугольника ABD:
   Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике ABD:
   ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
   ∠BDA = 43°
   ∠ABD = 37°
   ∠BAD = 180° - (43° + 37°) = 180° - 80° = 100°.
   ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 100° - 22° = 78°. (Ошибка в предыдущих шагах, проверим по другому).
5. Пересчитаем углы, опираясь на уже найденные:
   Углы в треугольнике ABD:
   ∠ADB = 43°
   ∠ABD = 37°
   ∠BAD = 180° - (43° + 37°) = 180° - 80° = 100°.
6. Найдем ∠ABC:
   ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 37° + 22° = 59°.
7. Найдем ∠BCD:
   ABCD — вписанный четырехугольник, значит, сумма противоположных углов равна 180°.
   ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 100° = 80°.
8. Найдем ∠ACD и ∠ACB:
   ∠ACB = ∠ADB = 43° (опираются на дугу AB).
   ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 43° + 37° = 80°. Это совпадает с расчетом выше.
9. Найдем ∠CAD и ∠CBD:
   ∠CAD = 22°
   ∠CBD = ∠CAD = 22° (опираются на дугу CD).
10. Найдем ∠BCA:
    ∠BCA = ∠BCD - ∠ACD = 80° - 37° = 43°. Это совпадает с ∠ADB.
11. Найдем ∠BAC:
    ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 100° - 22° = 78°.
12. Найдем ∠ABC:
    ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 37° + 22° = 59°.
13. Проверим противоположный угол ∠ADC:
    ∠ADC = ∠ADB + ∠CBD (это неверно, ∠CBD не является частью ∠ADC)
    ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.
    ∠ADB = 43°.
    Чтобы найти ∠BDC, используем треугольник BCD. У нас есть ∠BCD = 80°, ∠CBD = 22°. Значит ∠BDC = 180° - (80° + 22°) = 180° - 102° = 78°.
14. Найдем ∠ADC:
    ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 43° + 78° = 121°.
15. Проверим сумму противоположных углов:
    ∠ABC + ∠ADC = 59° + 121° = 180°. Это верно.

Итоговые углы четырёхугольника:

• ∠A (∠BAD) = 100°
• ∠B (∠ABC) = 59°
• ∠C (∠BCD) = 80°
• ∠D (∠ADC) = 121°

Ответ: ∠A = 100°, ∠B = 59°, ∠C = 80°, ∠D = 121°