Найдите углы трапеции. 10) В трапеции EFМN основания EF и NM параллельны; отмечено, что EN = FM. Диагонали EM и FN пересекаются под углом 120°. Диагонали перпендикулярны боковым сторонам EN и FM соответственно. Найдите углы трапеции.

Обозначим угол при основании NM через α. Из EN = FM следует, что трапеция равнобедренная, поэтому углы при каждом основании равны: ∠N = ∠M = α и ∠E = ∠F = 180° − α.

Из рисунка диагональ EM перпендикулярна EN, а диагональ FN перпендикулярна FM. Угол между диагоналями, отмеченный как 120°, означает, что меньший угол между их прямыми равен 60°.

Пусть β — острый угол между диагональю EM и основанием NM. Поскольку EM ⟂ EN, угол при N равен α = 90° − β. Из симметрии равнобедренной трапеции диагонали наклонены к основаниям в противоположные стороны, поэтому меньший угол между ними равен 2β. Следовательно, 2β = 60°, откуда β = 30° и α = 60°.

Тогда углы у верхнего основания равны 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠N = ∠M = 60°, ∠E = ∠F = 120°.