12) Найдите угол \( ACO \), если его сторона \( CA \) касается окружности, \( O \) – центр окружности, а дуга \( AD \) окружности, заключённая внутри этого угла, равна 135°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Угол \( CAO \) прямой, так как сторона \( CA \) касается окружности, а \( AO \) – радиус, проведенный в точку касания.
2. Угол \( AOD \) – центральный угол, равен дуге \( AD \), то есть \( \angle AOD = 135^\circ \).
3. Найдем угол \( COD \):
   \[\angle COD = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]
4. Так как \( OC = OD \) (радиусы), треугольник \( OCD \) – равнобедренный, и углы при основании \( CD \) равны:
   \[\angle OCD = \angle ODC = \frac{180^\circ - \angle COD}{2} = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ\]
5. Угол \( ACO \) найдем из треугольника \( AOC \):
   \[\angle ACO = 180^\circ - \angle CAO - \angle AOC\]
6. Найдем угол \( AOC \):
   \[\angle AOC = 180^\circ - \angle COD - \angle AOD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\]
7. Подставим значения:
   \[\angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ\]

Ответ: 22.5°