8. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что один из его углов в 2 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть угол при основании равнобедренного треугольника равен $$x$$. Случай 1: Угол при вершине равен $$2x$$. Тогда сумма углов треугольника равна $$x + x + 2x = 4x = 180^\circ$$, откуда $$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$$. Углы треугольника: $$45^\circ$$, $$45^\circ$$, $$90^\circ$$. Случай 2: Угол при основании в 2 раза меньше угла при основании. Тогда второй угол при основании тоже x/2, а угол при вершине равен x. Сумма углов треугольника равна $$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = 2x = 180^\circ$$, откуда $$x = 90^\circ$$. Это невозможно, так как в таком случае сумма двух углов при основании будет равна $$45+45=90$$, а угол при вершине - 90. Сумма углов равна $$90+45+45=180$$, что верно. Тогда угол при основании равен 45 градусов, а угол при вершине - 90 градусов. Случай 3: Угол при вершине равен $$x$$, а угол при основании $$2x$$. Тогда сумма углов треугольника равна $$2x + 2x + x = 5x = 180^\circ$$, откуда $$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$$. Углы треугольника: $$36^\circ$$, $$72^\circ$$, $$72^\circ$$. Таким образом, углы при основании могут быть $$45^\circ$$ или $$72^\circ$$. Ответ: 45° или 72°