4. Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р=0,5.

Ответ: 0.246

Вероятность наступления ровно k успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:

• \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k
• \(p\) - вероятность успеха в одном испытании
• \(n\) - количество испытаний
• \(k\) - количество успехов

В нашем случае:

• \(n = 9\)
• \(k = 5\)
• \(p = 0.5\)

Считаем:

\[C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\]\[P(X = 5) = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{9-5} = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^4 = 126 \cdot (0.5)^9 = 126 \cdot 0.001953125 = 0.24609375 \approx 0.246\]

Ответ: 0.246