10. Найдите все корни уравнения 2log3 (2-x)-3log3 (3-2x) log3 (2-x) + log3 (3-2x) = 0.

Ответ: x = 1

Шаг 1: Введем замену переменных:

Пусть a = log3(2 - x) и b = log3(3 - 2x)

Шаг 2: Перепишем уравнение с новыми переменными:

2a - 3ab + b = 0

Шаг 3: Выразим b через a:

b(1 - 3a) = -2a

b = (2a) / (3a - 1)

Шаг 4: Вернемся к исходным переменным:

log3(3 - 2x) = (2log3(2 - x)) / (3log3(2 - x) - 1)

Шаг 5: Пусть log3(2 - x) = t, тогда log3(3 - 2x) = (2t) / (3t - 1). Запишем это в виде:

3 - 2x = 3^((2t) / (3t - 1))

2 - x = 3^t

Шаг 6: Выразим x из второго уравнения:

x = 2 - 3^t

Шаг 7: Подставим x в первое уравнение:

3 - 2(2 - 3^t) = 3^((2t) / (3t - 1))

3 - 4 + 2 * 3^t = 3^((2t) / (3t - 1))

2 * 3^t - 1 = 3^((2t) / (3t - 1))

Шаг 8: Решим уравнение подбором. Пусть t = 0, тогда:

2 * 3^0 - 1 = 3^((2 * 0) / (3 * 0 - 1))

2 * 1 - 1 = 3^0

1 = 1

Это верно. Значит, t = 0 является решением.Шаг 9: Найдем x:

t = log3(2 - x) = 0

2 - x = 3^0

2 - x = 1

x = 1

Ответ: x = 1