5. Найдите все корни уравнения logo,3 (x² - 4x - 5) = log0,3 (7 -3x).

Ответ: x = -2 и x = 6

Шаг 1: Приравниваем аргументы логарифмов:

x² - 4x - 5 = 7 - 3x

Шаг 2: Преобразуем уравнение:

x² - 4x + 3x - 5 - 7 = 0

x² - x - 12 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -12.

D = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (1 + √49) / (2 * 1) = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4

x2 = (1 - √49) / (2 * 1) = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3

Шаг 4: Проверяем корни на допустимость (аргументы логарифмов должны быть положительными):

• Для x = 4:

x² - 4x - 5 = 4² - 4 * 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (не подходит, так как меньше 0)

• Для x = -3:

x² - 4x - 5 = (-3)² - 4 * (-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (подходит, так как больше 0)

7 - 3x = 7 - 3 * (-3) = 7 + 9 = 16 (подходит, так как больше 0)

Шаг 5: Находим дополнительные корни:

x² - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5); 7 - 3x = 0; x = 7/3

• Для x = -1:

x² - 4x - 5 = (-1)² - 4 * (-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 (не подходит, так как равен 0)

• Для x = 5:

x² - 4x - 5 = (5)² - 4 * (5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0 (не подходит, так как равен 0)

• Для x = 7/3:

x² - 4x - 5 = (7/3)² - 4 * (7/3) - 5 = 49/9 - 28/3 - 5 = (49 - 84 - 45) / 9 = -80/9 (не подходит, так как меньше 0)

Ответ: x = -3