Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² - |x+3+a| = |x-a-3| имеет единственный корень.

Рассмотрим два случая:
1) x + 3 + a >= 0 и x - a - 3 >= 0. Тогда уравнение принимает вид x² - (x + 3 + a) = x - a - 3, то есть x² - x - 3 - a = x - a - 3 или x² - 2x = 0, x(x-2)=0. Корни x=0 и x=2.
2) x+3+a < 0 и x-a-3 < 0. Тогда x² + x+3+a = -x + a + 3, x² + 2x = 0, x(x+2) = 0. Корни x=0 и x=-2.
3) x+3+a >= 0 и x - a - 3 < 0. Тогда x² - (x + 3 + a) = -x + a + 3, x² - x - 3 - a = -x + a + 3, x² - 6 - 2a = 0, x² = 2a+6.
4) x+3+a < 0 и x - a - 3 >=0. Тогда x² + x + 3 + a = x - a - 3, x² + 6 + 2a = 0. x² = -2a-6.
Необходимо чтобы один из корней был единственным, при этом дискриминант должен быть равен 0.
В первом случае x = 0 и x=2. Это нам не подходит.
Во втором случае x=0 и x=-2. Это нам не подходит.
В третьем случае x²=2a+6. Чтобы был один корень 2a+6=0, a=-3.
В четвёртом случае x²=-2a-6. Чтобы был один корень -2a-6=0, a=-3.
Ответ: a=-3. (a+3)² имеет единственный корень в a=-3, что соответсвует условию задачи