Найдите все значения a, при которых уравнение (2x+a+1-tgx)²=(2x+a-1+tgx)² имеет единственное решение на отрезке[0;π].

Для того, чтобы уравнение (2x+a+1-tgx)²=(2x+a-1+tgx)² имело единственное решение, нужно чтобы выражения в скобках были равны или отличались знаком.
Случай 1: 2x + a + 1 - tgx = 2x + a - 1 + tgx. Тогда 2 = 2tgx, tgx = 1. На отрезке [0, pi] x = pi/4.
Случай 2: 2x + a + 1 - tgx = - (2x + a - 1 + tgx). Тогда 2x + a + 1 - tgx = -2x - a + 1 - tgx, 4x + 2a = 0, x = -a/2.
Так как решение должно быть в диапазоне [0, pi], то 0 <= -a/2 <= pi => -2pi <= a <= 0.
Случай 3: выражения равны 0: 2x+a+1-tgx = 0 и 2x+a-1+tgx = 0 => 2tgx = 2, tgx = 1 и a = -2x => a = -2pi/4 = -pi/2. Но этот случай уже рассматривался выше.
Если a = -2x, то из 0 <= x <= pi => 0 >= a >= -2pi
Единственное решение получается, когда -a/2=pi/4. Тогда a=-pi/2.
Если a = -2x, то x=-a/2. Тогда -a/2=pi/4, a=-pi/2
Ответ: a = -pi/2