Найдите все значения параметра a, при каждом из которых на интервале (1;2) существует хотя бы одно число x, неудовлетворяющее неравенству -2a+1+√((-2a+1)²-2(-2a+1)x+x²) ≤ 3x-x².

Перенесем все в одну часть неравенства: -2a+1+√((-2a+1)²-2(-2a+1)x+x²) -3x + x² <= 0.
Заметим, что выражение под корнем есть полный квадрат: (-2a+1-x)².
Тогда получаем -2a+1 + |(-2a+1) - x| <= 3x - x².
Пусть t = -2a+1. Тогда получаем t + |t-x| <= 3x - x², или |t-x| <= -t + 3x - x².
Рассмотрим два случая:
1) t>=x. Тогда t-x <= -t + 3x - x², или x² - 4x + 2t <=0. Тогда x² - 4x - 4a + 2 <=0.
2) tНеобходимо найти a, при которых первое неравенство имеет решение на (1,2).
Необходимо чтобы x²-4x-4a+2<=0 имело решения на интервале (1;2).
Пусть f(x) = x²-4x+2. f(1) = -1, f(2) = -2.
Значит для x² - 4x - 4a + 2 <=0, чтобы было решение на (1,2) необходимо чтобы -4a-1<=0. Тогда a >= -1/4.
Тогда -4a-2<=0, a>= -1/2.
Нужно чтобы существовало такое x, чтобы неравенство выполнялось. То есть если мы подставим x=1 и x=2 и хотя бы одно из значений будет меньше или равно 0, то будет существовать решение на интервале (1,2).
Подставляем x=1: 1-4-4a+2 <= 0, -1 <= 4a, a>=-1/4.
Подставляем x=2: 4-8-4a+2<=0, -2 <= 4a, a>= -1/2.
Ответ: a >= -1/4.