34.37 Найдите все значения параметра р, при которых не имеет действительных корней уравнение: a) (p-1)x²-4x + 5 = 0; б) (p-15) x² + 4px - 3 = 0; в) (2р + 3)x2 - 6x + 8 = 0; г) (3р - 5)x² - (6p-2)x + 3p - 2 = 0.

34.37

а) (p-1)x² - 4x + 5 = 0 не имеет действительных корней, если D < 0 и (p-1) ≠ 0.

D = (-4)² - 4 * (p-1) * 5 = 16 - 20(p-1) = 16 - 20p + 20 = 36 - 20p.

36 - 20p < 0

20p > 36

p > 36/20 = 9/5 = 1.8

p - 1 ≠ 0

p ≠ 1

Следовательно, p > 1.8

б) (p-15)x² + 4px - 3 = 0 не имеет действительных корней, если D < 0 и (p-15) ≠ 0.

D = (4p)² - 4 * (p-15) * (-3) = 16p² + 12(p-15) = 16p² + 12p - 180.

16p² + 12p - 180 < 0

4p² + 3p - 45 < 0

Найдем корни уравнения 4p² + 3p - 45 = 0:

D = 3² - 4 * 4 * (-45) = 9 + 720 = 729

p₁ = (-3 - √729) / 8 = (-3 - 27) / 8 = -30/8 = -15/4 = -3.75

p₂ = (-3 + √729) / 8 = (-3 + 27) / 8 = 24/8 = 3

Следовательно, -3.75 < p < 3 и p ≠ 15, то есть -3.75 < p < 3

в) (2p + 3)x² - 6x + 8 = 0 не имеет действительных корней, если D < 0 и (2p+3) ≠ 0.

D = (-6)² - 4 * (2p + 3) * 8 = 36 - 32(2p + 3) = 36 - 64p - 96 = -64p - 60.

-64p - 60 < 0

-64p < 60

p > -60/64 = -15/16 = -0.9375

2p + 3 ≠ 0

2p ≠ -3

p ≠ -3/2 = -1.5

Следовательно, p > -0.9375

г) (3р - 5)x² - (6p-2)x + 3p - 2 = 0 не имеет действительных корней, если D < 0 и (3p - 5) ≠ 0.

D = (-(6p - 2))² - 4 * (3p - 5) * (3p - 2) = (6p - 2)² - 4(3p - 5)(3p - 2) = 36p² - 24p + 4 - 4(9p² - 6p - 15p + 10) = 36p² - 24p + 4 - 36p² + 84p - 40 = 60p - 36.

60p - 36 < 0

60p < 36

p < 36/60 = 3/5 = 0.6

3p - 5 ≠ 0

3p ≠ 5

p ≠ 5/3 ≈ 1.67

Следовательно, p < 0.6

Ответ: а) p > 1.8; б) -3.75 < p < 3; в) p > -0.9375; г) p < 0.6