1 Найдите значение выражения √ 83+16√19-√19. Запишите решение и ответ.

Упростим выражение:

$$ \sqrt{83+16\sqrt{19}} - \sqrt{19} $$

Предположим, что $$ \sqrt{83+16\sqrt{19}} $$ можно представить в виде $$ a+b\sqrt{19} $$, тогда:

$$ (a+b\sqrt{19})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{19} + 19b^2 = 83 + 16\sqrt{19} $$

Отсюда получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} a^2 + 19b^2 = 83 \\ 2ab = 16 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a^2 + 19b^2 = 83 \\ ab = 8 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a^2 + 19b^2 = 83 \\ a = \frac{8}{b} \end{cases} $$

$$ (\frac{8}{b})^2 + 19b^2 = 83 $$

$$ \frac{64}{b^2} + 19b^2 = 83 $$

$$ 64 + 19b^4 = 83b^2 $$

$$ 19b^4 - 83b^2 + 64 = 0 $$

Пусть $$ t = b^2 $$, тогда уравнение принимает вид:

$$ 19t^2 - 83t + 64 = 0 $$

$$ D = (-83)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 64 = 6889 - 4864 = 2025 $$

$$ \sqrt{D} = 45 $$

$$ t_1 = \frac{83 + 45}{2 \cdot 19} = \frac{128}{38} = \frac{64}{19} $$

$$ t_2 = \frac{83 - 45}{2 \cdot 19} = \frac{38}{38} = 1 $$

Тогда $$ b^2 = 1 $$ или $$ b^2 = \frac{64}{19} $$

Отсюда $$ b = 1 $$ или $$ b = \frac{8}{\sqrt{19}} $$

Если $$ b = 1 $$, то $$ a = \frac{8}{1} = 8 $$, тогда $$ a + b\sqrt{19} = 8 + \sqrt{19} $$

Если $$ b = \frac{8}{\sqrt{19}} $$, то $$ a = \frac{8}{\frac{8}{\sqrt{19}}} = \sqrt{19} $$, тогда $$ a + b\sqrt{19} = \sqrt{19} + \frac{8}{\sqrt{19}} \cdot \sqrt{19} = \sqrt{19} + 8 $$

Итак, $$ \sqrt{83 + 16\sqrt{19}} = 8 + \sqrt{19} $$

Таким образом,

$$ \sqrt{83+16\sqrt{19}} - \sqrt{19} = 8 + \sqrt{19} - \sqrt{19} = 8 $$

Ответ: 8