4. Найдите значение выражения √⁴ √(17/27)+6√³ √(13/81)

4. Найдите значение выражения $$\sqrt[3]{4 \frac{17}{27}} + 6 \sqrt[3]{\frac{13}{81}}$$.

Представим смешанную дробь в виде неправильной дроби:

$$4 \frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$$

Тогда первое слагаемое примет вид:

$$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$6 \sqrt[3]{\frac{13}{81}} = 6 \sqrt[3]{\frac{13}{3^4}} = 6 \sqrt[3]{\frac{13 \cdot 3^2}{3^4 \cdot 3^2}} = 6 \sqrt[3]{\frac{13 \cdot 9}{3^6}} = 6 \frac{\sqrt[3]{117}}{9} = \frac{2}{3} \sqrt[3]{117}$$.

Выражение примет вид:

$$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \sqrt[3]{13}$$.

$$6\sqrt[3]{\frac{13}{81}}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{13}}{\sqrt[3]{81}}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{13}}{\sqrt[3]{3^4}}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{13}}{3\sqrt[3]{3}}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{13}\cdot \sqrt[3]{3^2}}{3\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3^2}}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{13\cdot 9}}{3\cdot 3}=6\cdot \frac{\sqrt[3]{117}}{9}=\frac{2}{3}\sqrt[3]{117}$$

Тогда: $$\frac{5}{3}+6\sqrt[3]{\frac{13}{81}}=\frac{5}{3}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{117}$$

Ответ: $$\frac{5}{3}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{117}$$