2. Постройте график функции у = х²-4х-5. Опишите его свойства.

2. Постройте график функции $$y = x^2 - 4x - 5$$. Опишите его свойства.

Графиком данной функции является парабола. Найдем координаты вершины параболы.

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$$y_v = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Координаты вершины параболы: $$(2, -9)$$.

Найдем точки пересечения графика с осью $$Ox$$, для этого решим уравнение $$x^2 - 4x - 5 = 0$$.

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(5, 0)$$ и $$(-1, 0)$$.

Найдем точку пересечения графика с осью $$Oy$$, для этого вычислим значение функции при $$x = 0$$.

$$y = (0)^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$(0, -5)$$.

Изобразим график функции:

Свойства функции:

• Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$
• Множество значений: $$y \in [-9; +\infty)$$
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на интервале $$(-\infty; 2]$$ и возрастает на интервале $$[2; +\infty)$$.
• Нули функции: $$x_1 = 5, x_2 = -1$$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $$(2, -9)$$, пересекающая ось $$Ox$$ в точках $$(5, 0)$$ и $$(-1, 0)$$, и ось $$Oy$$ в точке $$(0, -5)$$.