6. Найдите значение выражения: 5/3-10√3sin² 13π/12

• Шаг 1: Преобразуем аргумент синуса:

\[\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}\] \[\sin \frac{13\pi}{12} = \sin (\pi + \frac{\pi}{12}) = -\sin \frac{\pi}{12}\] \[\sin^2 \frac{13\pi}{12} = \sin^2 \frac{\pi}{12}\]

• Шаг 2: Вычислим \(\sin^2 \frac{\pi}{12}\):

Используем формулу половинного угла: \[\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}\] \[\sin^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\]

• Шаг 3: Подставим найденное значение в исходное выражение:

\[\frac{5}{3} - 10\sqrt{3} \sin^2 \frac{13\pi}{12} = \frac{5}{3} - 10\sqrt{3} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{5}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{2} (2 - \sqrt{3}) = \frac{5}{3} - \frac{5\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{5}{3} - 5\sqrt{3} + \frac{15}{2}\] \[= \frac{10 - 30\sqrt{3} + 45}{6} = \frac{55 - 30\sqrt{3}}{6}\]