Найдите значение выражения 4^3 * 9^5 / 36^3.

Решение:

Для упрощения выражения \( \frac{4^3 \cdot 9^5}{36^3} \) представим все основания степени в виде простых множителей.

1. Разложим 4, 9 и 36 на простые множители:
• \( 4 = 2^2 \)
• \( 9 = 3^2 \)
• \( 36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2 \)
2. Подставим эти разложения в исходное выражение:
• \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
• \( 9^5 = (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10} \)
• \( 36^3 = (2^2 \cdot 3^2)^3 = (2^2)^3 \cdot (3^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{2 \cdot 3} = 2^6 \cdot 3^6 \)
3. Теперь подставим полученные степени в дробь:
• \( \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^6 \cdot 3^6} \)
4. Сократим одинаковые основания:
• \( \frac{2^6}{2^6} = 1 \)
• \( \frac{3^{10}}{3^6} = 3^{10-6} = 3^4 \)
5. Вычислим оставшуюся степень:
• \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)

Ответ: 81