Найдите значение выражения \( \frac{2^{-3} \cdot 2^{-13}}{2^{-19}} \).

Решение:

Используем свойства степеней:

1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).


2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Сначала вычислим числитель:

\[ 2^{-3} \cdot 2^{-13} = 2^{-3 + (-13)} = 2^{-16} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{2^{-16}}{2^{-19}} = 2^{-16 - (-19)} = 2^{-16 + 19} = 2^3 \]

Вычислим окончательное значение:

\[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]

Ответ: 8