Найдите значение выражения \( \frac{3^4 \cdot 4^5}{12^3} \).

Решение:

1. Разложим основание степени \( 12 \) на простые множители: \( 12 = 3 \times 4 \).
2. Подставим разложение в выражение: \( \frac{3^4 \cdot 4^5}{(3 \cdot 4)^3} \).
3. Используем свойство степени \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \): \( \frac{3^4 \cdot 4^5}{3^3 \cdot 4^3} \).
4. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^{4-3} \cdot 4^{5-3} = 3^1 \cdot 4^2 \).
5. Вычислим результат: \( 3 \cdot 16 = 48 \).

Ответ: 48