Найдите значение выражения $$\frac{a^{17} \cdot b^{5}}{ (a \cdot b)^{15} }$$ при $$a = 7$$ и $$b = \sqrt{7}$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение, используя свойства степеней.
2. \( \frac{a^{17} \cdot b^{5}}{ (a \cdot b)^{15} } = \frac{a^{17} \cdot b^{5}}{ a^{15} \cdot b^{15}} \)
3. \( = a^{17-15} \cdot b^{5-15} \)
4. \( = a^{2} \cdot b^{-10} \)
5. \( = \frac{a^2}{b^{10}} \)
6. Шаг 2: Подставим значения $$a = 7$$ и $$b = \sqrt{7}$$.
7. \( \frac{7^2}{(\sqrt{7})^{10}} \)
8. \( = \frac{49}{ (7^{1/2})^{10} } \)
9. \( = \frac{49}{ 7^{(1/2) \times 10} } \)
10. \( = \frac{49}{ 7^5 } \)
11. Шаг 3: Вычислим значение.
12. \( 7^5 = 7^2 \cdot 7^2 \cdot 7 = 49 \cdot 49 \cdot 7 = 2401 \cdot 7 = 16807 \)
13. \( = \frac{49}{16807} \)
14. Можно сократить дробь, заметив, что $$49 = 7^2$$.
15. \( = \frac{7^2}{7^5} = \frac{1}{7^{5-2}} = \frac{1}{7^3} \)
16. \( 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343 \)
17. \( = \frac{1}{343} \)

Ответ: $$\frac{1}{343}$$