Найдите значение выражения $$\frac{a^{21} \cdot (b^{9})^{2}}{(a \cdot b)^{18}}$$, при $$a=5$$ и $$b=\sqrt{5}$$.

Для начала упростим выражение, а затем подставим заданные значения $$a$$ и $$b$$.

1. Применим свойство степени $$(x^m)^n = x^{m \cdot n}$$ в числителе: \[ (b^{9})^{2} = b^{9 \cdot 2} = b^{18} \]
2. Применим свойство степени $$(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$$ в знаменателе: \[ (a \cdot b)^{18} = a^{18} \cdot b^{18} \]
3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение: \[ \frac{a^{21} \cdot b^{18}}{a^{18} \cdot b^{18}} \]
4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($$b^{18}$$): \[ \frac{a^{21}}{a^{18}} \]
5. Применим свойство степени $$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$$: \[ a^{21-18} = a^{3} \]
6. Теперь подставим заданные значения: $$a=5$$ и $$b=\sqrt{5}$$. Обрати внимание, что значение $$b$$ нам не понадобилось, так как оно сократилось. \[ 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125 \]

Ответ: 125