Найдите значение выражения \(\left( \frac{49a^2}{25b^2} - 1 \right) : \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right)\) при \(a = \frac{2}{7}\) и \(b = -\frac{1}{30}\).

Привет! Давай решим этот пример по шагам.

Сначала упростим выражение, которое нам дано:

\[ \left( \frac{49a^2}{25b^2} - 1 \right) : \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \]

Заметим, что числитель первой дроби, 49a², это (7a)², а знаменатель, 25b², это (5b)². Значит, первую дробь можно записать как

\[ \left( \frac{(7a)^2}{(5b)^2} - 1 \right) : \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \]

Теперь заметим, что

\[ \frac{(7a)^2}{(5b)^2} - 1 \]

это разность квадратов, которая раскладывается по формуле

\[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \]

В нашем случае,

\[ x = \frac{7a}{5b} \]

и

\[ y = 1 \]

Тогда выражение в скобках становится:

\[ \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \left( \frac{7a}{5b} + 1 \right) \]

Теперь вернёмся к нашему выражению:

\[ \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \left( \frac{7a}{5b} + 1 \right) : \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \]

Мы можем сократить множитель

\[ \left( \frac{7a}{5b} - 1 \right) \]

, так как он есть и в числителе, и в знаменателе (при условии, что он не равен нулю).

В результате мы получаем:

\[ \frac{7a}{5b} + 1 \]

Теперь подставим значения

\(a = \frac{2}{7}\)

и

\(b = -\frac{1}{30}\)

:

\[ \frac{7 \cdot \frac{2}{7}}{5 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right)} + 1 \]

Упростим числитель:

\[ 7 \cdot \frac{2}{7} = 2 \]

Упростим знаменатель:

\[ 5 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right) = -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6} \]

Теперь подставим обратно:

\[ \frac{2}{-\frac{1}{6}} + 1 \]

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

\[ 2 \cdot \left(-\frac{6}{1}\right) + 1 \]

\[ -12 + 1 \]

\[ -11 \]

Ответ: -11