Найдите значение выражения \(\sin\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)\).

Поскольку \(\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\pi}{6}\), получаем:

\[\sin\left(2\cdot -\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).