Вычислите: \(\operatorname{arcctg}\left(2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\).

Сначала вычислим синус:

\[2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3}.\]

Главное значение арккотангенса лежит в \((0,\pi)\). Угол из этого промежутка, котангенс которого равен \(-\sqrt{3}\), — \(\frac{5\pi}{6}\).

Ответ: \(\frac{5\pi}{6}\).