Найдите значение выражения $$\sqrt{48\cdot 80\cdot 15}$$.

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\sqrt{48\cdot 80\cdot 15}\) упростим подкоренное выражение, разложив числа на множители:

1. Разложим числа на простые множители:
• \( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
• \( 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)
2. Подставим разложения в выражение под корнем:
\( 48 \cdot 80 \cdot 15 = (2^4 \cdot 3) \cdot (2^4 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \)
3. Сгруппируем одинаковые множители:
\( = 2^4 \cdot 2^4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
4. Извлечём квадратный корень:
\( \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 2^{8/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{2/2} = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
5. Вычислим результат:
\( 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 15 = 240 \)

Ответ: 240