Найдите значение выражения $$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot x^6 \cdot y^4}$$ при $$x = 2$$ и $$y = 5$$.

Решение:

1. Подставляем значения x и y в выражение:

   \(x = 2\), \(y = 5\)

   \(x^6 = 2^6 = 64\)

   \(y^4 = 5^4 = 625\)

2. Подставляем в корень:

   \(\sqrt{\frac{1}{16} \cdot 64 \cdot 625}\)

3. Упрощаем подкоренное выражение:

   \(\frac{1}{16} \cdot 64 = \frac{64}{16} = 4\)

   Теперь выражение под корнем: \(4 \cdot 625\)

4. Вычисляем произведение:

   \(4 \cdot 625 = 2500\)

5. Извлекаем квадратный корень:

   \(\sqrt{2500} = 50\)

Альтернативный способ (сначала извлекаем корень):

1. Извлекаем корень из степеней:

   \(\sqrt{\frac{1}{16} \cdot x^6 \cdot y^4} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^4}\)

   \(\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\)

   \(\sqrt{x^6} = x^{6/2} = x^3\)

   \(\sqrt{y^4} = y^{4/2} = y^2\)

   Получаем: \(\frac{1}{4} \cdot x^3 \cdot y^2\)

2. Подставляем значения x и y:

   \(x = 2\), \(y = 5\)

   \(x^3 = 2^3 = 8\)

   \(y^2 = 5^2 = 25\)

3. Вычисляем:

   \(\frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 25\)

   \(\frac{1}{4} \cdot 8 = 2\)

   \(2 \cdot 25 = 50\)

Ответ:

50