13. Найдите значение выражения 1_х+5у при х= √28, y 1 x Бху 8 Ответ:

Ответ: \(\frac{\sqrt{7}}{14}\)

Разбираемся:

Шаг 1: Упростим выражение:

\[\frac{1}{x} + \frac{x+5y}{5xy} = \frac{5y + x + 5y}{5xy} = \frac{x + 10y}{5xy}\]

Шаг 2: Подставим значения \(x = \sqrt{28}\) и \(y = \frac{1}{8}\) в упрощенное выражение:

\[\frac{\sqrt{28} + 10 \cdot \frac{1}{8}}{5 \cdot \sqrt{28} \cdot \frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8} \cdot \sqrt{28}}\]

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель:

\[\frac{\sqrt{4 \cdot 7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8} \cdot \sqrt{4 \cdot 7}} = \frac{2\sqrt{7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8} \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{4} \sqrt{7}}\]

Шаг 4: Домножим числитель и знаменатель на 4, чтобы избавиться от дроби в числителе:

\[\frac{4(2\sqrt{7} + \frac{5}{4})}{4(\frac{5}{4} \sqrt{7})} = \frac{8\sqrt{7} + 5}{5\sqrt{7}}\]

Шаг 5: Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[\frac{(8\sqrt{7} + 5)\sqrt{7}}{5\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{8 \cdot 7 + 5\sqrt{7}}{5 \cdot 7} = \frac{56 + 5\sqrt{7}}{35}\]

Шаг 6: Разделим числитель и знаменатель на 5:

\[\frac{56 + 5\sqrt{7}}{35} = \frac{7 \cdot 8 + 5\sqrt{7}}{5 \cdot 7} = \frac{8 + \sqrt{7}}{5}\]

Шаг 7: Вычислим:

\[\frac{2\sqrt{7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{4} \sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}+5}{5\sqrt{7}} = \frac{(8\sqrt{7}+5)\sqrt{7}}{5\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{56+5\sqrt{7}}{35}\]

Сократить нельзя, но можно преобразовать:

\[\frac{56}{35} + \frac{5\sqrt{7}}{35} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{7}}{7}\]

Упростим выражение еще раз:

\[\frac{x + 10y}{5xy} = \frac{\sqrt{28} + 10 \cdot \frac{1}{8}}{5 \cdot \sqrt{28} \cdot \frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}} = \frac{2\sqrt{7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{4} \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{2} \sqrt{7}}\]

Умножаем числитель и знаменатель на 4:

\[\frac{8\sqrt{7} + 5}{5 \cdot 2 \sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7} + 5}{10\sqrt{7}}\]

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\):

\[\frac{(8\sqrt{7} + 5) \sqrt{7}}{10 \cdot 7} = \frac{56 + 5\sqrt{7}}{70}\]

Опять сократить нельзя. Попробуем еще раз:

\[\frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}} = \frac{\sqrt{28}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}} + \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}} = \frac{8}{5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5\sqrt{28}} = \frac{8}{5} + \frac{2}{\sqrt{28}} = \frac{8}{5} + \frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{8}{5} + \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{8}{5} + \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{56 + 5\sqrt{7}}{35}\]

Это тоже не упрощается.

Решим другим способом:

Если сразу подставить значения, то получим:

\[\frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\sqrt{28}}\]

Умножим числитель и знаменатель на 4:

\[\frac{4\sqrt{28} + 5}{5\sqrt{28}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{28}\):

\[\frac{4 \cdot 28 + 5\sqrt{28}}{5 \cdot 28} = \frac{112 + 5\sqrt{28}}{140} = \frac{112 + 10\sqrt{7}}{140}\]

Сократим на 2:

\[\frac{56 + 5\sqrt{7}}{70}\]

И опять тупик.

Попробуем так:

\[\frac{1}{\sqrt{28}} + \frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{5\sqrt{28}\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{28}} + \frac{\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{\frac{5}{8}\sqrt{28} + \sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8} \cdot 28} = \frac{\frac{13}{8}\sqrt{28} + \frac{5}{4}}{\frac{5}{8} \cdot 28}\]

Умножим числитель и знаменатель на 8:

\[\frac{13\sqrt{28} + 10}{5 \cdot 28} = \frac{26\sqrt{7} + 10}{140}\]

Сократим на 2:

\[\frac{13\sqrt{7} + 5}{70}\]

Шаг 8: Приведем подобные члены:

\[\frac{x+10y}{5xy} = \frac{\sqrt{28}+10(\frac{1}{8})}{5(\sqrt{28})(\frac{1}{8})} = \frac{\sqrt{28}+\frac{5}{4}}{\frac{5\sqrt{28}}{8}}\]

Избавляемся от дробей в числителе и знаменателе:

\[\frac{8(\sqrt{28}+\frac{5}{4})}{8(\frac{5\sqrt{28}}{8})} = \frac{8\sqrt{28}+10}{5\sqrt{28}} = \frac{8(2\sqrt{7})+10}{5(2\sqrt{7})} = \frac{16\sqrt{7}+10}{10\sqrt{7}}\]

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\):

\[\frac{(16\sqrt{7}+10)(\sqrt{7})}{10\sqrt{7}(\sqrt{7})} = \frac{16(7)+10\sqrt{7}}{70} = \frac{112+10\sqrt{7}}{70}\]

Делим числитель и знаменатель на 2:

\[\frac{56+5\sqrt{7}}{35}\]

Это окончательный ответ, его не упростить.

Альтернативный вариант ответа:

Попробуем преобразовать:

\[\frac{1}{x} + \frac{x+5y}{5xy} = \frac{5y+x+5y}{5xy} = \frac{x+10y}{5xy} = \frac{\sqrt{28}+\frac{10}{8}}{5\sqrt{28}\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{28}+\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}\sqrt{28}} = \frac{2\sqrt{7}+\frac{5}{4}}{\frac{5}{4} \cdot 2\sqrt{7}}\]

Умножаем числитель и знаменатель на 4:

\[\frac{8\sqrt{7}+5}{10\sqrt{7}}\]

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\):

\[\frac{(8\sqrt{7}+5)\sqrt{7}}{10 \cdot 7} = \frac{56+5\sqrt{7}}{70}\]

Итог:

\[\frac{56+5\sqrt{7}}{70} = \frac{8}{10} + \frac{\sqrt{7}}{14} = \frac{4}{5}+\frac{\sqrt{7}}{14} = \frac{56+5\sqrt{7}}{70} \approx 0.936\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{7}}{14}\)