30. Найдите значения выражений: a) 25^7 * 125^11 / 5^47; б) 81^16 * 9^30 / 3^4; в) 8^12 * 16^-4 / 32^10; г) 216^-13 * 36^12 / 6^-16; д) 64^14 / 4^40 * 16^-2; e) 2^-18 / 2^-8; ж) 10^23 / 10^25

Пошаговое решение:

а)

1. Преобразуем все основания к основанию 5:
   \[25 = 5^2, 125 = 5^3\]
2. Перепишем выражение:
   \[\frac{25^7 \cdot 125^{11}}{5^{47}} = \frac{(5^2)^7 \cdot (5^3)^{11}}{5^{47}} = \frac{5^{14} \cdot 5^{33}}{5^{47}} = \frac{5^{14 + 33}}{5^{47}} = \frac{5^{47}}{5^{47}} = 1\]

Ответ: 1

б)

1. Преобразуем все основания к основанию 3:
   \[81 = 3^4, 9 = 3^2\]
2. Перепишем выражение:
   \[\frac{81^{16} \cdot 9^{30}}{3^4} = \frac{(3^4)^{16} \cdot (3^2)^{30}}{3^4} = \frac{3^{64} \cdot 3^{60}}{3^4} = \frac{3^{64 + 60}}{3^4} = \frac{3^{124}}{3^4} = 3^{124 - 4} = 3^{120}\]

Ответ: 3^120

в)

1. Преобразуем все основания к основанию 2:
   \[8 = 2^3, 16 = 2^4, 32 = 2^5\]
2. Перепишем выражение:
   \[\frac{8^{12} \cdot 16^{-4}}{32^{10}} = \frac{(2^3)^{12} \cdot (2^4)^{-4}}{(2^5)^{10}} = \frac{2^{36} \cdot 2^{-16}}{2^{50}} = \frac{2^{36 - 16}}{2^{50}} = \frac{2^{20}}{2^{50}} = 2^{20 - 50} = 2^{-30} = \frac{1}{2^{30}}\]

Ответ: 1/2^30

г)

1. Преобразуем все основания к основанию 6:
   \[216 = 6^3, 36 = 6^2\]
2. Перепишем выражение:
   \[\frac{216^{-13} \cdot 36^{12}}{6^{-16}} = \frac{(6^3)^{-13} \cdot (6^2)^{12}}{6^{-16}} = \frac{6^{-39} \cdot 6^{24}}{6^{-16}} = \frac{6^{-39 + 24}}{6^{-16}} = \frac{6^{-15}}{6^{-16}} = 6^{-15 - (-16)} = 6^{-15 + 16} = 6^1 = 6\]

Ответ: 6

д)

1. Преобразуем все основания к основанию 4:
   \[64 = 4^3, 16 = 4^2\]
2. Перепишем выражение:
   \[\frac{64^{14}}{4^{40} \cdot 16^{-2}} = \frac{(4^3)^{14}}{4^{40} \cdot (4^2)^{-2}} = \frac{4^{42}}{4^{40} \cdot 4^{-4}} = \frac{4^{42}}{4^{40 - 4}} = \frac{4^{42}}{4^{36}} = 4^{42 - 36} = 4^6\]

Ответ: 4^6

е)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
\[\frac{2^{-18}}{2^{-8}} = 2^{-18 - (-8)} = 2^{-18 + 8} = 2^{-10} = \frac{1}{2^{10}}\]

Ответ: 1/2^10

ж)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
\[\frac{10^{23}}{10^{25}} = 10^{23 - 25} = 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}\]

Ответ: 1/100