8 Найдите значения выражения при х = √3 +2, y = √3-2. Ответ:

Для того, чтобы найти значение выражения $$\frac{x^2+y^2}{xy} : \frac{x^4-y^4}{x+y}$$, подставим значения х и у.

$$\frac{x^2+y^2}{xy} : \frac{x^4-y^4}{x+y}=\frac{(\sqrt{3}+2)^2+(\sqrt{3}-2)^2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} : \frac{(\sqrt{3}+2)^4-(\sqrt{3}-2)^4}{(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)}$$

Выполним преобразования:

1) Рассмотрим числитель первой дроби:

$$(\sqrt{3}+2)^2+(\sqrt{3}-2)^2 = (3+4\sqrt{3}+4)+(3-4\sqrt{3}+4)=7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=14$$

2) Рассмотрим знаменатель первой дроби:

$$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$$

3) Рассмотрим числитель второй дроби:

$$(\sqrt{3}+2)^4-(\sqrt{3}-2)^4 = ((\sqrt{3}+2)^2)^2- ((\sqrt{3}-2)^2)^2 =$$

$$= ((\sqrt{3}+2)^2-(\sqrt{3}-2)^2) \cdot ((\sqrt{3}+2)^2+(\sqrt{3}-2)^2) =$$

$$= (3+4\sqrt{3}+4-(3-4\sqrt{3}+4)) \cdot 14 = (7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}) \cdot 14 =$$

$$= 8\sqrt{3} \cdot 14 = 112\sqrt{3}$$

4) Рассмотрим знаменатель второй дроби:

$$(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2) = 2\sqrt{3}$$

5) Подставим полученные значения в исходное выражение:

$$\frac{14}{-1} : \frac{112\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -14 : \frac{112}{2} = -14 : 56 = -14 \cdot \frac{1}{56} = -\frac{1}{4} = -0.25$$

Ответ: -0.25