9 Решите уравнение |x² – 12| = х. Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите сумму всех его корней. Ответ:

Решим уравнение $$|x^2 - 12| = x$$.

Рассмотрим два случая:

1) Если $$x^2 - 12 \geq 0$$, то $$|x^2 - 12| = x^2 - 12$$. Тогда уравнение принимает вид:

$$x^2 - 12 = x$$

$$x^2 - x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$.

Корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим условие $$x^2 - 12 \geq 0$$ для найденных корней:

Для $$x_1 = 4$$: $$4^2 - 12 = 16 - 12 = 4 \geq 0$$. Условие выполняется.

Для $$x_2 = -3$$: $$(-3)^2 - 12 = 9 - 12 = -3 < 0$$. Условие не выполняется, значит, $$x_2 = -3$$ не является корнем.

2) Если $$x^2 - 12 < 0$$, то $$|x^2 - 12| = -(x^2 - 12) = 12 - x^2$$. Тогда уравнение принимает вид:

$$12 - x^2 = x$$

$$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$.

Корни:

$$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Проверим условие $$x^2 - 12 < 0$$ для найденных корней:

Для $$x_3 = 3$$: $$3^2 - 12 = 9 - 12 = -3 < 0$$. Условие выполняется.

Для $$x_4 = -4$$: $$(-4)^2 - 12 = 16 - 12 = 4 \geq 0$$. Условие не выполняется, значит, $$x_4 = -4$$ не является корнем.

Таким образом, корнями уравнения являются $$x_1 = 4$$ и $$x_3 = 3$$.

Сумма корней: $$4 + 3 = 7$$.

Ответ: 7