1. Найти: AE

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 градусов) и прямоугольном треугольнике ABE (угол AEB = 60 градусов), дано, что EC = 7. Необходимо найти AE. В треугольнике ABE: ∠BAE = 30°, ∠AEB = 60°, следовательно ∠ABE = 90°. Тогда можно сказать, что треугольник ABC – прямоугольный, как и было указано. В прямоугольном треугольнике BEC: ∠BEC = 90°. Тогда ∠EBC = 90° - 60° = 30°. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠BAC = 30°. Следовательно, BC = 2*EC = 2 *7 = 14 (катет, лежащий напротив угла в 30°). В прямоугольном треугольнике BEC: EC = 7. Тогда BE = \(EC \cdot \tan(\angle BCE)\) = \(7 \cdot \tan(60^\circ)\) = \(7 \sqrt{3}\). В прямоугольном треугольнике ABE: \(AE = BE \cdot \cot(\angle BAE)\) = \(7 \sqrt{3} \cdot \cot(30^\circ)\) = \(7 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\) = 21. Ответ: AE = 21.