Найти область определения функции: \(f(x)=\sqrt{-2x-3}+x^2\); \(g(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{-2x-3}}\); \(f(x)=x-\sqrt{2x-3}\); \(f(x)=-\dfrac{1}{x^2+3}+\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}}\); \(f(x)=\sqrt{|-2x+3|+x^2}\); \(f(x)=3-2\sqrt{5x+4}\); \(f(x)=\dfrac{2x-5}{\sqrt{5x+4}+3}\); \(f(x)=3x-\sqrt{|5x-4|+3x^2+1}\); \(f(x)=2x^2+\dfrac{3}{\sqrt{5x-4}+3}\); \(f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}+\sqrt{5x-4}-3\).

Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным; если корень находится в знаменателе — строго положительным. Области определения по порядку: сначала пять функций левого столбца сверху вниз, затем пять функций правого столбца сверху вниз.

1. \(f(x)=\sqrt{-2x-3}+x^2\): \(-2x-3\ge0\), поэтому \(D=(-\infty,-\dfrac{3}{2}]\).
2. \(g(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{-2x-3}}\): знаменатель должен быть определён и не равен нулю, значит \(-2x-3>0\). Поэтому \(D=(-\infty,-\dfrac{3}{2})\).
3. \(f(x)=x-\sqrt{2x-3}\): \(2x-3\ge0\), поэтому \(D=[\dfrac{3}{2},+\infty)\).
4. \(f(x)=-\dfrac{1}{x^2+3}+\dfrac{2}{\sqrt{2x-3}}\): \(x^2+3>0\) при любом действительном \(x\), а корень в знаменателе требует \(2x-3>0\). Поэтому \(D=(\dfrac{3}{2},+\infty)\).
5. \(f(x)=\sqrt{|-2x+3|+x^2}\): оба слагаемых под корнем неотрицательны при любом действительном \(x\). Поэтому \(D=\mathbb{R}\).
6. \(f(x)=3-2\sqrt{5x+4}\): \(5x+4\ge0\), поэтому \(D=[-\dfrac{4}{5},+\infty)\).
7. \(f(x)=\dfrac{2x-5}{\sqrt{5x+4}+3}\): требуется \(5x+4\ge0\); знаменатель при этом положителен, так как он не меньше 3. Поэтому \(D=[-\dfrac{4}{5},+\infty)\).
8. \(f(x)=3x-\sqrt{|5x-4|+3x^2+1}\): подкоренное выражение положительно для всех \(x\), поскольку \(|5x-4|\ge0\), \(3x^2\ge0\) и прибавляется 1. Поэтому \(D=\mathbb{R}\).
9. \(f(x)=2x^2+\dfrac{3}{\sqrt{5x-4}+3}\): требуется \(5x-4\ge0\); знаменатель положителен. Поэтому \(D=[\dfrac{4}{5},+\infty)\).
10. \(f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}+\sqrt{5x-4}-3\): знаменатель \(x^2+1\) всегда положителен, а условие на корень — \(5x-4\ge0\). Поэтому \(D=[\dfrac{4}{5},+\infty)\).