Найти первый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (вₙ), если b₂ = 12 и b₄ = 300.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулы для b₂ и b₄ через первый член (b₁) и знаменатель (q): \( b_2 = b_1 \cdot q = 12 \)\( b_4 = b_1 \cdot q^3 = 300 \)
• Шаг 2: Решим систему уравнений. Разделим второе уравнение на первое: \( \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{300}{12} \)\( q^2 = 25 \)\( q = \pm 5 \)
• Шаг 3: Находим первый член (b₁) для каждого значения q. Если \( q = 5 \), то \( b_1 = \frac{12}{5} = 2.4 \). Если \( q = -5 \), то \( b_1 = \frac{12}{-5} = -2.4 \)
• Шаг 4: Находим сумму четырех первых членов (S₄) для каждого случая.

Случай 1: \( q = 5 \), \( b_1 = 2.4 \)

• Используем формулу: \( S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \), где \( n = 4 \). Подставляем значения: \( S_4 = \frac{2.4(1 - 5^4)}{1 - 5} = \frac{2.4(1 - 625)}{-4} = \frac{2.4(-624)}{-4} = 2.4 \cdot 156 = 374.4 \)

Случай 2: \( q = -5 \), \( b_1 = -2.4 \)

• Используем формулу: \( S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \), где \( n = 4 \). Подставляем значения: \( S_4 = \frac{-2.4(1 - (-5)^4)}{1 - (-5)} = \frac{-2.4(1 - 625)}{6} = \frac{-2.4(-624)}{6} = -2.4 \cdot (-104) = 249.6 \)

Ответ: В первом случае первый член равен 2.4, сумма 4 первых членов равна 374.4. Во втором случае первый член равен -2.4, сумма 4 первых членов равна 249.6.