Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = x^2 - 2 \), \( y = x \) и сделать рисунок.

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^2 - 2 \) и \( y = x \). Приравниваем выражения:

$$ x^2 - 2 = x $$$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни:

$$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$$$ x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$

Площадь фигуры будем вычислять как интеграл от разности верхней и нижней функций по найденным пределам интегрирования:

$$ S = \int_{-1}^{2} (x - (x^2 - 2)) dx = \int_{-1}^{2} (x - x^2 + 2) dx $$

Вычисляем интеграл:

$$ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-1}^{2} $$

Подставляем верхний и нижний пределы:

$$ S = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right) $$$$ S = \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{-1}{3} - 2 \right) $$$$ S = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right) $$$$ S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2}{6} - 2 \right) $$$$ S = \left( \frac{18-8}{3} \right) - \left( \frac{5}{6} - \frac{12}{6} \right) $$$$ S = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} $$$$ S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) квадратных единиц.