Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x^2 - 3x + 2 \) и \( y = x - 1 \).

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^2 - 3x + 2 \) и \( y = x - 1 \). Приравниваем выражения:

$$ x^2 - 3x + 2 = x - 1 $$$$ x^2 - 3x - x + 2 + 1 = 0 $$$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \). Корни:

$$ x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 $$$$ x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$

Для нахождения площади нужно определить, какая функция является верхней, а какая нижней на интервале \( [1, 3] \). Возьмем промежуточное значение, например \( x = 2 \):

• Для \( y = x^2 - 3x + 2 \): \( y = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \)
• Для \( y = x - 1 \): \( y = 2 - 1 = 1 \)

Значит, \( y = x - 1 \) — верхняя функция, а \( y = x^2 - 3x + 2 \) — нижняя.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$$ S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx $$$$ S = \int_{1}^{3} (x - 1 - x^2 + 3x - 2) dx $$$$ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx $$

Вычисляем определенный интеграл:

$$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} $$

Подставляем пределы интегрирования:

$$ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right) $$$$ S = \left( -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) $$$$ S = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) $$$$ S = 0 - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} $$

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.