Найти путь, пройденный материальной точкой за 8 с от начала движения со скоростью \( V = 0.2t \) (м/с).

Решение:

Путь, пройденный материальной точкой, равен интегралу от скорости по времени. Скорость дана функцией \( V(t) = 0.2t \). Нам нужно найти путь за 8 секунд, то есть от \( t=0 \) до \( t=8 \).

Формула для пути \( S \):

$$ S = \int_{0}^{8} V(t) dt $$

Подставляем значение скорости:

$$ S = \int_{0}^{8} 0.2t dt $$

Вычисляем определенный интеграл:

$$ S = \left[ 0.2 \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{8} = \left[ 0.1t^2 \right]_{0}^{8} $$

Подставляем пределы интегрирования:

$$ S = 0.1(8^2) - 0.1(0^2) = 0.1(64) - 0 = 6.4 $$

Ответ: Путь, пройденный точкой, равен \( 6.4 \) м.