Вычислите интеграл: \(\int_{}^{} \frac{3x^5 - 8x^2}{x^2} dx\)

Решение:

Для вычисления интеграла сначала упростим подынтегральную функцию:

$$ \frac{3x^5 - 8x^2}{x^2} = \frac{3x^5}{x^2} - \frac{8x^2}{x^2} = 3x^3 - 8 $$

Теперь вычислим интеграл:

$$ \int (3x^3 - 8) dx = \int 3x^3 dx - \int 8 dx $$

Используя правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и константы \( \int C dx = Cx + C \), получаем:

$$ 3 \int x^3 dx - 8 \int dx = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 8x + C = 3 \cdot \frac{x^4}{4} - 8x + C = \frac{3}{4}x^4 - 8x + C $$

Ответ: \( \frac{3}{4}x^4 - 8x + C \).