Показать, что функция F (x) = e2x + x3 − cos x является первообразной для функции f (x) = 2e2x + 3x² + sin x на всей числовой прямой.

Для того чтобы показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$, необходимо доказать, что производная функции $$F(x)$$ равна функции $$f(x)$$.

Найдем производную функции $$F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$$.

$$F'(x) = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$.

Так как $$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x = f(x)$$, то функция $$F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$$ является первообразной для функции $$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$ на всей числовой прямой.

Ответ: Функция $$F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$$ является первообразной для функции $$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$ на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.