Вычислить: 1) ∫3x3dx; 1 2) ∫ dx,; 2 x2 3) ∫ cos xdx; 0 4) ∫ sin 2xdx.

$$\int_1^2 3x^3 dx$$

Сначала найдем неопределенный интеграл:

$$\int 3x^3 dx = 3 \int x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$$\int_1^2 3x^3 dx = \frac{3}{4}x^4 \Big|_1^2 = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4}(1^4) = \frac{3}{4}(16) - \frac{3}{4}(1) = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48 - 3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25$$

Ответ: 11.25

$$\int_2^4 \frac{dx}{x^2}$$

Сначала найдем неопределенный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$$\int_2^4 \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \Big|_2^4 = -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 2}{4} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Ответ: 0.25

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$$

Сначала найдем неопределенный интеграл:

$$\int \cos x dx = \sin x + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \sin x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$$

Ответ: 1

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx$$

Сначала найдем неопределенный интеграл:

$$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2} \cos (2\pi) - \left(-\frac{1}{2} \cos (2\cdot\frac{\pi}{2})\right) = -\frac{1}{2} \cos (2\pi) + \frac{1}{2} \cos (\pi) = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$$

Ответ: -1