Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 1). Дано: ABCD — квадрат; SO — высота пирамиды. На рисунке AB = 10, SC = 13, отмечено равенство SC = SD.

В основании квадрат со стороной 10. Так как SC = SD, треугольник SCD равнобедренный, а высота SO проходит через середину CD. Следовательно, OD = 5.

В прямоугольном треугольнике SOD:

\(SO=\sqrt{SC^2-OD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\).

Площадь основания: \(S_{ABCD}=10^2=100\).

Площадь грани SCD: \(S_{SCD}=\frac12\cdot10\cdot12=60\).

Расстояние от O до стороны AB равно 10. Высота грани SAB, опущенная на AB, равна \(\sqrt{SO^2+10^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}\). Поэтому \(S_{SAB}=\frac12\cdot10\cdot2\sqrt{61}=10\sqrt{61}\). Аналогично, \(S_{SAD}=10\sqrt{61}\).

Ответ: \(S_{\text{полн}}=220+20\sqrt{61}\).