7. Найти производную функции y = x6 · sin2x

Для нахождения производной функции $$y = x^6 \cdot sin(2x)$$ применим правило произведения: $$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$.

В данном случае $$u = x^6$$, $$v = sin(2x)$$.

Производные будут:

$$u' = (x^6)' = 6x^5$$

$$v' = (sin(2x))' = cos(2x) \cdot (2x)' = 2cos(2x)$$

Теперь подставим в формулу:

$$y' = (x^6 \cdot sin(2x))' = 6x^5 \cdot sin(2x) + x^6 \cdot 2cos(2x) = 6x^5sin(2x) + 2x^6cos(2x)$$.

Сравним с вариантами ответа:

1. $$6x^5 \cdot cos2x$$
2. $$12x^5 \cdot cos2x$$
3. $$6x^5 sin2x - 2x^6 cos2x$$
4. $$6x^5 sin2x + 2x^6 cos2x$$
5. $$6x^5 \cdot sin2x$$

Четвертый вариант является правильным.

Ответ: 4)