Найти точки экстремума функции y = x/3 + 3/x.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для нахождения точек экстремума необходимо найти производную, приравнять её к нулю и определить знаки производной в окрестностях этих точек.

Находим производную функции: \[ y' = (\frac{x}{3} + \frac{3}{x})' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} \]
Приравниваем производную к нулю: \[ \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{3} = \frac{3}{x^2} \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]
Определяем знаки производной в окрестностях точек:
- Точка \( x = -3 \):
  - При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(-4)^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{16} = \frac{16 - 9}{48} = \frac{7}{48} > 0 \]
  - При \( x > -3 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(-2)^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 9}{12} = -\frac{5}{12} < 0 \]
  Значит, в точке \( x = -3 \) — максимум.
- Точка \( x = 3 \):
  - При \( x < 3 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(2)^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = \frac{4 - 9}{12} = -\frac{5}{12} < 0 \]
  - При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{(4)^2} = \frac{1}{3} - \frac{3}{16} = \frac{16 - 9}{48} = \frac{7}{48} > 0 \]
  Значит, в точке \( x = 3 \) — минимум.

Ответ: Точка максимума: \( x = -3 \). Точка минимума: \( x = 3 \).