5 Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Периметр основания равен 8 м, а высота равна 3 м.

1. Запишем выражение для периметра основания: $$2(a + b) = 8$$, $$a + b = 4$$, $$b = 4 - a$$.
2. Запишем выражение для объёма параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot h = a \cdot (4 - a) \cdot 3 = 3a(4 - a) = 12a - 3a^2$$.
3. Найдём производную объёма по переменной a: $$V'(a) = (12a - 3a^2)' = 12 - 6a$$.
4. Приравняем производную к нулю и найдём критическую точку: $$12 - 6a = 0$$, $$6a = 12$$, $$a = 2$$.
5. Найдём вторую производную объёма по переменной a: $$V''(a) = (12 - 6a)' = -6$$.
6. Так как $$V''(2) = -6 < 0$$, то при $$a = 2$$ объём достигает максимума.
7. Найдём вторую сторону основания: $$b = 4 - a = 4 - 2 = 2$$.

Таким образом, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим, стороны основания должны быть равны 2 м.

Ответ: Стороны основания должны быть равны 2 м.