4 Функция y = x + 4/x непрерывна на отрезке [1; 5]. Найти её наибольшее и наименьшее значения.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти производную, определить критические точки и вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдём первую производную функции: $$y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2}$$.
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$1 - \frac{4}{x^2} = 0$$, $$1 = \frac{4}{x^2}$$, $$x^2 = 4$$, $$x = \pm 2$$.
3. Проверим, какие критические точки лежат на отрезке [1; 5]: $$x = 2$$ лежит на отрезке [1; 5], а $$x = -2$$ не лежит.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • $$y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5$$.
   • $$y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$$.
   • $$y(5) = 5 + \frac{4}{5} = 5 + 0.8 = 5.8$$.

Сравним полученные значения:

• Наибольшее значение: 5.8.
• Наименьшее значение: 4.

Ответ: Наибольшее значение: 5.8, наименьшее значение: 4.