Найти углы трапеции ABCD, если AB = BC = CD, BC ∥ AD и AC ⟂ CD.

Обозначим через x угол между AC и AD. Так как BC ∥ AD, угол между AC и BC тоже равен x. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) углы при основании равны, поэтому ∠BAC = ∠ACB = x.

Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 2x. Кроме того, AB = CD, поэтому ABCD — равнобедренная трапеция и ∠A = ∠D. В треугольнике ACD угол C прямой, значит ∠A + ∠D = 90°. Следовательно, 2∠A = 90°, откуда ∠A = ∠D = 45°? В условии равенство AB = BC = CD: учитывая BC = CD, получаем равные отрезки и в треугольнике BCD, но это не даёт равенства боковых сторон трапеции. Для точного вычисления используем координаты.

Пусть BC = L, а горизонтальный сдвиг от A до B равен x. Из AB = L получаем высоту h, где h² + x² = L². Поскольку CD = L и AD ∥ BC, горизонтальный сдвиг от C до D также равен x. Условие AC ⟂ CD даёт h² = x(x + L). Сравнивая с h² = L² − x², получаем x = L/2 и h = √3 L/2. Поэтому угол A имеет тангенс h/x = √3, то есть ∠A = 60°. В равнобедренной трапеции ∠A = ∠D, а соседние углы supplementary.

Ответ: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.